Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，

1

1+an+1

-

1

1+an

=

1

2

（n∈N^*），
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式
（Ⅱ）設(shè)b_n=1+a 2n（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前10項和S₁₀．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)c_n=a_n+1，將遞推公式轉(zhuǎn)化為與c_n相關(guān)的式子，進(jìn)而求出數(shù)列的通向公式．
（Ⅱ）求出數(shù)列{b_n}的通項，利用等比數(shù)列求和公式即可求解．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)c_n=a_n+1，則數(shù)列{

1

cn

}是一個等差數(shù)列，
又

1

c1

=

1

2

，d=

1

2

．
∴

1

cn

=

1

2

+(n-1)

1

2

=

n

2

，
∴c_n=

2

n

∴a_n=c_n-1=

2

n

-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn=1+a2n=

2

2n

=

1

2n-1

，
∴S₁₀=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

29

=2[1-(

1

2

)10]=2-(

1

2

)9=

1023

512

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求數(shù)列通項，以及等比數(shù)列的求和，屬于中檔題．