Question

已知圓C的圓心在直線3x-y=0上且在第一象限，圓C與x軸相切，且被直線x-y=0截得的弦長(zhǎng)為2

7

．
（1）求圓C的方程；
（2）若點(diǎn)P（x，y）是圓C上的點(diǎn)，滿足

3

x+y-m≤0恒成立，求m的取值范圍；
（3）將圓C向左移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位得到圓C₁，P為圓C₁上第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C₁的切線l，且l交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，設(shè)

OM

=

OA

+

OB

，求丨

OM

丨的最小值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用,向量的加法及其幾何意義,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：平面向量及應(yīng)用,直線與圓

分析：（1）根據(jù)圓心在3x-y=0上，設(shè)出圓心C坐標(biāo)以及半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到x-y=0的距離d，由弦長(zhǎng)與半徑，利用垂徑定理及勾股定理列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，確定出圓心與半徑，寫出圓C的方程即可．
（2）設(shè)出圓C的參數(shù)方程，不等式

3

x+y-m≤0恒成立，即為m≥

3

x+y恒成立，求出

3

x+y的最大值，即可確定出m的范圍．
（3）利用平移規(guī)律確定出圓C₁的方程，

解答： 解：（1）根據(jù)題意設(shè)圓心C（a，3a），a＞0，半徑為3a，
∵圓心到直線x-y=0的距離d=

|a-3a|

2

=2a，弦長(zhǎng)為2

7

，半徑為3a，
∴2

7

=2

r2-d2

，即7a²=7，
解得：a=1，則圓C方程為（x-1）²+（y-3）²=9．
（2）根據(jù)圓C方程設(shè)x=1+cosα，y=3+sinα，
不等式

3

x+y-m≤0恒成立，即為m≥

3

x+y恒成立，
∵

3

x+y=

3

+3+

3

cosα+sinα=

3

+3+2sin（α+θ）的最大值為

3

+3+2=

3

+5，
則m滿足m≥

3

+5，故 m的取值范圍為[

3

+5，+∞）．
（3）由條件利用平移規(guī)律確定出圓C₁的方程為 （x-0）²+（y-0）²=9，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則有x₀＞0，y₀＞0，且x02+y02=9，
故切線l的方程為 x₀•x+y₀•y=9，
由此可得點(diǎn)A（

9

x0

，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，

9

y0

），
∴

OM

=

OA

+

OB

=（

9

x0

，

9

y0

），

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查圓的參數(shù)方程，考查向量知識(shí)的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．