Question

16．若$f（x）=\frac{1}{{{2^x}-1}}+a$是奇函數(shù)，且函數(shù)$g（x）={log_a}[m{x^2}-（m+5）x+12]$在[1，3]上為增函數(shù)，則m的取值范圍是$\frac{1}{2}$＜m≤1．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，求出a的值，然后結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系進行判斷求解即可．

解答 解：∵$f（x）=\frac{1}{{{2^x}-1}}+a$是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即$\frac{1}{{2}^{-x}-1}$+a=-$\frac{1}{{2}^{x}-1}$-a，
即$\frac{{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$+a=-$\frac{1}{{2}^{x}-1}$-a，
即2a=-$\frac{1}{{2}^{x}-1}$-$\frac{{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$=$\frac{1}{1-{2}^{x}}$-$\frac{{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$=$\frac{1-{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$=1，
則a=$\frac{1}{2}$，
則g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$[mx²-（m+5）x+12]，
設(shè)t=h（x）=mx²-（m+5）x+12，則y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$t為減函數(shù)，
若g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$[mx²-（m+5）x+12]在[1，3]上為增函數(shù)，
則t=h（x）=mx²-（m+5）x+12在[1，3]上為減函數(shù)，且h（3）＞0，
若m=0，則t=h（x）=-5x+12在[1，3]上為減函數(shù)，且h（3）=-15+12=-3＞0不成立，不滿足條件．，
若m＞0，則滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{-（m+5）}{2m}=\frac{m+5}{2m}≥3}\\{9m-3（m+5）+12=6m-3＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m≤1}\\{m＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}$＜m≤1，
若m＜0，則滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{-（m+5）}{2m}=\frac{m+5}{2m}≤1}\\{9m-3（m+5）+12=6m-3＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m≤5}\\{m＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}$＜m≤5，
∵m＜0，∴此時不等式無解，
綜上$\frac{1}{2}$＜m≤1，
故答案為：$\frac{1}{2}$＜m≤1

點評 本題主要考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，利用函數(shù)奇偶性的定義求出a，以及利用換元法結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．