Question

已知函數f（x）=x³+bx²+cx+d（b、c、d為常數），當x∈（0，1）時取得極大值，當x∈（1，2）時取極小值，則（b+

1

2

）²+（c-3）²的取值范圍是（　�。�

• A、（

  37

  2

  ，5）
• B、（

  5

  ，5）
• C、（

  37

  4

  ，25）
• D、（5，25）

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：綜合題,導數的概念及應用

分析：據極大值點左邊導數為正右邊導數為負，極小值點左邊導數為負右邊導數為正得a，b的約束條件，據線性規(guī)劃求出最值．

解答： 解：∵f（x）=x³+bx²+cx+d，
∴f′（x）=3x²+2bx+c，
∵函數f（x）在x∈（0，1）時取得極大值，當x∈（1，2）時取極小值，
∴f′（x）=3x²+2bx+c=0在（0，1）和（1，2）內各有一個根，
∴f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0，
即

c＞0 3+2b+c＜0 12+4b+c＞0

，
在bOc坐標系中畫出其表示的區(qū)域，如圖，
（b+

1

2

）²+（c-3）²表示點A（-

1

2

，3）與可行域內的點連線的距離的平方，
點A（-

1

2

，3）到直線3+2b+c=0的距離為

|-1+3+3|

5

=

5

，
由12+4b+c=0與3+2b+c=0聯立，可得交點為（-4.5，6），與點A（-

1

2

，3）的距離為5，
∴（b+

1

2

）²+（c-3）²的取值范圍是（5，25），
故選：D．

點評：考查學生利用導數研究函數極值的能力，以及會進行簡單的線性規(guī)劃的能力．