Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知曲線C₁上的任一點(diǎn)到點(diǎn)（1，0）的距離與到直線x=2的距離之比為

2

2

，動(dòng)點(diǎn)Q是動(dòng)圓C₂：x²+y²=r²（1＜r＜

2

）上一點(diǎn)．
（1）求曲線C₁的軌跡方程；
（2）若點(diǎn)P為曲線C₁上的點(diǎn)，直線PQ與曲線C₁和動(dòng)圓C₂均只有一個(gè)公共點(diǎn)，求P、Q兩點(diǎn)的距離|PQ|的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)曲線C₁上的任一點(diǎn)到點(diǎn)（1，0）的距離與到直線x=2的距離之比為

2

2

，建立方程，化簡(jiǎn)，即可求曲線C₁的軌跡方程；
（2）易知直線PQ的斜率存在，設(shè)直線方程為y=kx+m，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由

x12 2 +y12=1 y1=kx1+m

得（2k²+1）x₁²+4kmx₁+2（m²-1）=0，由直線與橢圓相切得△=0，x₁=-

2k

m

①，由直線PQ與圓C₂相切，則

|m|

1+k2

=r②，聯(lián)立①②可消掉m，由勾股定理可把|PQ|²表示為r的函數(shù)，再用基本不等式可得其最大值．

解答： 解：（1）設(shè)曲線C₁上的任一點(diǎn)（x，y），依題意
∵曲線C₁上的任一點(diǎn)到點(diǎn)（1，0）的距離與到直線x=2的距離之比為

2

2

，
∴

(x-1)2+y2

|x-2|

=

2

2

，化簡(jiǎn)方程得

x2

2

+y2=1．…（3分）
（2）依題意可知直線PQ顯然有斜率，設(shè)其方程為y=kx+m，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），…（4分）
由于直線PQ與曲線C₁相切，點(diǎn)P為切點(diǎn)，從而有

x12 2 +y12=1 y1=kx1+m

得（2k²+1）x₁²+4kmx₁+2（m²-1）=0…（10分）．
由于直線PQ與橢圓C₁相切，故△=（4km）²-4×2（m²-1）（2k²+1）=0
從而可得m²=1+2k²，①x₁=-

2k

m

…（8分）
又直線PQ與圓C₂相切，則

|m|

1+k2

=r，
∴m²=r²（1+k²），②…（9分）
由①②得k²=

r2-1

2-r2

，…（10分）
并且|PQ|²=|OP|²-|OQ|²=x₁²+y₁²-r²=3-r²-

2

r2

≤3-2

2

即|PQ|≤

2

-1，當(dāng)且僅當(dāng)r²=

2

∈（1，2）時(shí)取等號(hào)，…（13分）
故P、Q兩點(diǎn)的距離|PQ|的最大值

2

-1．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程、橢圓方程及其位置關(guān)系，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析解決問題的能力，本題綜合性強(qiáng)，難度大．