Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+x2+ax．
（1）若f（x）在區(qū)間[1，+∞）單調(diào)遞增，求a的最小值；
（2）若g(x)=

1

ex

，對?x1∈[

1

2

，2]，?x2∈[

1

2

，2]，使f′（x₁）≤g（x₂）成立，求a的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）題目可轉(zhuǎn)化成f′（x）=x²+2x+a≥0在[1，+∞）恒成立，再通過分離常數(shù)的方法求解；
（2）將“?x1∈[

1

2

，2]，?x2∈[

1

2

，2]，使f′（x₁）≤g（x₂）成立”轉(zhuǎn)化成“[f′（x）]_max≤[g（x）]_max”，x∈[

1

2

，2]，再進(jìn)一步利用函數(shù)單調(diào)性分別求最大值．

解答： 解：（1）依題意知，f′（x）=x²+2x+a≥0在[1，+∞）恒成立，
∴a≥-x²-2x=-（x+1）²+1，而y=-（x+1）²+1在[1，+∞）單調(diào)遞減，從而y_max=-3，
∴只需a≥-3．
∴a_min=-3．
（2）對?x1∈[

1

2

，2]，?x2∈[

1

2

，2]，使f′（x₁）≤g（x₂），
即[f′（x）]_max≤[g（x）]_max，f′（x）=（x+1）²+a-1在[

1

2

，2]單調(diào)遞增，
∴f′（x）_max=f′（2）=8+a，
g（x）在[

1

2

，2]上單調(diào)遞減，則g(x)max=g(

1

2

)=

e

e

，
∴8+a≤

e

e

，則a≤

e

e

-8．

點(diǎn)評：本題都需要將原題意轉(zhuǎn)化成我們更為熟悉的知識，從而進(jìn)一步給出解答．第一問中，學(xué)生往往容易忽視f′（x）≥0中的等號，從而造成錯(cuò)誤；在第二問中，
對于“?”“?”的理解至關(guān)重要，需要我們更多的理解，才能夠準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化題意，進(jìn)行進(jìn)一步解答．