Question

15．過圓C：x²+y²=4上一動點(diǎn)M作x軸的垂線段MD，D為垂足．若$\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MQ}$．
（1）求動點(diǎn)Q的軌跡方程，并說明此軌跡是什么曲線；
（2）設(shè)直線x=my+1與動點(diǎn)Q的軌跡交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A′．試問：當(dāng)m變化時(shí)，直線A′B與x軸的是否交于一個(gè)定點(diǎn)？若是，請寫出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，由$\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MQ}$得到M的坐標(biāo)，把M的坐標(biāo)代入圓x²+y²=4整理得動點(diǎn)Q的軌跡方程．
（2）把直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，則A′的坐標(biāo)可推斷出，利用韋達(dá)定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，進(jìn)而可表示出A′B的直線方程，把y=0代入求得x的表達(dá)式，把x₁=my₁+1，x₂=my₂+1代入求得x=4，進(jìn)而可推斷出直線A′B與x軸交于定點(diǎn)（4，0）．

解答 解：（1）設(shè)Q（x，y），由題意D（x，0），M（x，y₁）
∵$\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MQ}$，∴y₁+0=2y，y₁=2y．
又∵M(jìn)（x，y₁）在圓x²+y²=4上，∴x²+y₁²=4，
∴x²+4y²=4，即$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
∴點(diǎn)Q的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓．
（2）由直線x=my+1與動點(diǎn)Q的軌跡方程，得（my+1）²+4y²=4，即（m²+4）y²+2my-3=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則A′（x₁，-y₁）．
且y₁+y₂=-$\frac{2m}{{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{3}{{m}^{2}+4}$．
經(jīng)過點(diǎn)A′（x₁，-y₁），B（x₂，y₂）的直線方程為$\frac{y+{y}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{x-{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$．
令y=0，則x=$\frac{{x}_{2}{y}_{1}+{x}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$
又∵x₁=my₁+1，x₂=my₂+1．
∴當(dāng)y=0時(shí)，x=$\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=4
這說明，直線A′B與x軸交于定點(diǎn)（4，0）．

點(diǎn)評 本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系．考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用．