Question

已知集合，若該集合具有下列性質(zhì)的子集：每個(gè)子集至少含有2個(gè)元素，且每個(gè)子集中任意兩個(gè)元素之差的絕對(duì)值大于1，則稱這些子集為子集，記子集的個(gè)數(shù)為．
（1）當(dāng)時(shí)，寫出所有子集；
（2）求；
（3）記，求證：

Answer 1

（1）；（2）133；（3）詳見(jiàn)解析

試題分析：（1）當(dāng)子集中只含有2個(gè)元素時(shí)，含1時(shí)，另一個(gè)元素只能是3或4或5；含2時(shí)另一個(gè)元素只能是4或5；含3時(shí)另一個(gè)元素只能是5；當(dāng)子集中含3個(gè)元素時(shí)只能是1、3、5這三個(gè)元素。（2）應(yīng)先求關(guān)于 的解析式：的子集可分為兩類：第一類子集中不含有，相當(dāng)于的子集個(gè)數(shù)；第二類子集中含有則肯定不含，相當(dāng)于的子集個(gè)數(shù)和的單元素與元素構(gòu)成的集合數(shù)，即，分析可知，則可求。（3）可用錯(cuò)位相減法證明。
解：（1）當(dāng)時(shí)，所以子集：，，，，，，．
（2）的子集可分為兩類：第一類子集中不含有，這類子集有個(gè)；
第二類子集中含有，這類子集成為的子集與的并，或的單元素子集與的并，共有個(gè)．
所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045327262383.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以，，，，，．
（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045327402948.png" style="vertical-align:middle;" />，   ①
所以   ②
①②得






所以．