Question

設(shè)函數(shù)f（x）=log_a（

1

a

-

1

x

），其中0＜a＜1．
（1）證明f（x）在區(qū)間（a，+∞）上是減函數(shù)；
（2）求使f（x）＞0的x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)t=（

1

a

-

1

x

）在區(qū)間（a，+∞）上是增函數(shù)，根據(jù)y=log_a t在區(qū)間（a，+∞）上是減函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，f（x）在區(qū)間（a，+∞）上是減函數(shù)．
（2）由條件可得0＜

1

a

-

1

x

＜1，即

1

a

-1＜

1

x

＜

1

a

，由此解得x的范圍．

解答： 解：（1）∵在區(qū)間（a，+∞）上，函數(shù)t=（

1

a

-

1

x

）＞0，且函數(shù)t的導(dǎo)數(shù)t′=

1

x2

＞0，
∴t是增函數(shù)．
又y=log_a t在區(qū)間（a，+∞）上是減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）=log_a（

1

a

-

1

x

）在區(qū)間（a，+∞）上是減函數(shù)．
（2）∵log_a（

1

a

-

1

x

）＞0，0＜a＜1，
∴0＜

1

a

-

1

x

＜1，∴

1

a

-1＜

1

x

＜

1

a

，解得 a＜x＜

a

1-a

，
即所求的x的范圍是（a，

a

1-a

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．