Question

已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q（2，0）和圓O：x²+y²=1，動(dòng)點(diǎn)M到圓O的切線長(zhǎng)與|MQ|的比等于常數(shù)λ（λ＞0），（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它表示什么曲線？
（2）當(dāng)λ=

2

時(shí)的曲線記為C，在直線y=2x+1上有一點(diǎn)P，過(guò)P且垂直于直線4x+3y-3=0的直線被曲線C所截的弦長(zhǎng)不小于2

3

，求P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：綜合題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），欲求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，即尋找x，y間的關(guān)系式，結(jié)合題中條件列式化簡(jiǎn)即可得；最后對(duì)參數(shù)λ分類(lèi)討論看方程表示什么曲線即可；
（2）當(dāng)λ=

2

時(shí)的曲線記為C：x²+y²-8x+9=0，即（x-4）²+y²=7，根據(jù)直線被曲線C所截的弦長(zhǎng)不小于2

3

，可得圓心到直線的距離不大于

7-3

=2，設(shè)出過(guò)P且垂直于直線4x+3y-3=0的直線方程，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）如圖，設(shè)MN切圓于N，則動(dòng)點(diǎn)M組成的集合是P={M||MN|=λ|MQ|}，式中常數(shù)λ＞0．
因?yàn)閳A的半徑|ON|=1，所以|MN|²=|MO|²-|ON|²=|MO|²-1．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則

x2+y2-1

=λ

(x-2)2+y2

，
整理得（λ²-1）（x²+y²）-4λ²x+（1+4λ²）=0．
經(jīng)檢驗(yàn)，坐標(biāo)適合這個(gè)方程的點(diǎn)都屬于集合P．故這個(gè)方程為所求的軌跡方程．
當(dāng)λ=1時(shí)，方程化為x=

5

4

，它表示一條直線，該直線與x軸垂直且交x軸于點(diǎn)（

5

4

，0），
當(dāng)λ≠1時(shí)，方程化為（x-

2λ2

λ2-1

）²+y²=

1+3λ2

(λ2-1)2

它表示圓，該圓圓心的坐標(biāo)為（

2λ2

λ2-1

，0），半徑為

1+3λ2

|λ2-1|

；
（2）當(dāng)λ=

2

時(shí)的曲線記為C：x²+y²-8x+9=0，即（x-4）²+y²=7，
∵直線被曲線C所截的弦長(zhǎng)不小于2

3

，
∴圓心到直線的距離不大于

7-3

=2，
設(shè)P（a，2a+1），則過(guò)P且垂直于直線4x+3y-3=0的直線方程為y-2a-1=

3

4

（x-a），即3x-4y+5a-4=0，
∴圓心到直線的距離d=

|12+5a-4|

5

≤2，
∴-

18

5

≤a≤

2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本小題考查曲線與方程的關(guān)系，軌跡的概念，考查直線與圓的位置關(guān)系．直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡(jiǎn)即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程．