Question

在等差數(shù)列{a_n}中，a₂=5，a₆=21，記數(shù)列{

1

an

}的前n項(xiàng)和為S_n，若S_2n+1-S_n≤

m

15

，?n∈N^*恒成立，則正整數(shù)m的最小值為（　�。�

• A、3
• B、4
• C、5
• D、6

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列{

1

an

}的通項(xiàng)公式，證明數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是遞減數(shù)列，可其最大值，進(jìn)而可得m的取值范圍，結(jié)合m為正整數(shù)可得．

解答： 解：∵在等差數(shù)列{a_n}中a₂=5，a₆=21，
∴公差d=

a6-a2

6-2

=4
∴a_n=5+4（n-2）=4n-3，∴

1

an

=

1

4n-3

，
∵（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）
=（

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

a2n+1

）-（

1

an+2

+

1

an+3

+…+

1

a2n+3

）
=

1

an+1

-

1

a2n+2

-

1

a2n+3

=

1

4n+1

-

1

8n+5

-

1

8n+9

=（

1

8n+2

-

1

8n+5

）+（

1

8n+2

-

1

8n+9

）＞0，
∴數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是遞減數(shù)列，
∴數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大項(xiàng)為S₃-S₁=

1

5

+

1

9

=

14

45

∴只需

14

45

≤

m

15

，變形可得m≥

14

3

，
又∵m是正整數(shù)，∴m的最小值為5．
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列與不等式的結(jié)合，證數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是遞減數(shù)列并求數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大值是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．