Question

設f（x）=a^3x+1-a^-2x，（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）解關于a的不等式f（-1）＞0；
（Ⅱ）當a＞1時，求使f（x）＞0的x的取值范圍．

Answer 1

考點：指數函數的圖像與性質,其他不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）由不等式f（-1）＞0，得 a^-2-a²＞0，結合a＞0，且a≠1，求得a的取值范圍；
（Ⅱ）a＞1時，由f（x）＞0，得 a^3x+1＞a^-2x，化為3x+1＞-2x，求出x的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=a^3x+1-a^-2x，
∴不等式f（-1）＞0，即 a^-2-a²＞0，
∴a^-2＞a²，即 a⁴＜1；
又∵a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1；
即不等式的解集是{a|0＜a＜1}；
（Ⅱ）當a＞1時，由f（x）＞0，得a^3x+1＞a^-2x，
∴3x+1＞-2x，解得 x＞-

1

5

；
∴滿足條件的x的取值范圍是（-

1

5

，+∞）．

點評：本題考查了指數函數的單調性應用問題，解題時應用指數函數的單調性解不等式，體現了轉化的數學思想，是基礎題．