Question

【題目】已知A(－2，0)，B(2，0)為橢圓C的左、右頂點，F(xiàn)為其右焦點，P是橢圓C上異于A，B的動點，且△APB面積的最大值為。

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)直線AP與橢圓在點B處的切線交于點D，當點P在橢圓上運動時，求證：以BD為直徑的圓與直線PF恒相切．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）橢圓C的方程為（Ⅱ）見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意得到a,b,c的方程組，解方程組即得橢圓C的方程.(2)求證圓心到直線PF的距離等于|BD|，即證以BD為直徑的圓與直線PF恒相切．

（1）由題意可設(shè)橢圓C的方程為 (a>b>0)，F(xiàn)(c，0)．

由題意知，解得b=，c=1.

故橢圓C的方程為，離心率為。

（2）證明：由題意可設(shè)直線AP的方程為y=k(x+2)(k≠0)。

則點D坐標為（2,4k）,BD中點E的坐標為（2，2k）.

由得

設(shè)點P的坐標為，則

所以

因為點F坐標為(1，0)，

當k＝±時，點P的坐標為，直線PF⊥x軸，點D的坐標為(2，±2)．

此時以BD為直徑的圓(與直線PF相切．

當時，則直線PF的斜率，

所以直線PF的方程為，

點E到直線PF的距離

又因為|BD|＝4|k|，所以d＝|BD|.

故以BD為直徑的圓與直線PF相切．

綜上得，當點P在橢圓上運動時，以BD為直徑的圓與直線PF恒相切．