Question

9．已知函數(shù)f（x）的定義域為R且f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2，x∈[0，1]}\\{2-{x}^{2}，x∈（-1，0）}\end{array}\right.$，f（x+1）=f（x-1），則方程f（x）=$\frac{2x+1}{x}$在區(qū)間[-3，3]的所有實根之和為（　�。�

• A． -8
• B． -2
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 由題意作出函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=$\frac{2x+1}{x}$在區(qū)間[-3，3]上的圖象，結(jié)合圖象求解即可．

解答 解：∵f（x+1）=f（x-1），即有f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
又∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2，x∈[0，1]}\\{2-{x}^{2}，x∈（-1，0）}\end{array}\right.$，
作函數(shù)f（x）與函數(shù)y=2+$\frac{1}{x}$在區(qū)間[-3，3]上
的圖象如右：
結(jié)合圖象可知，
圖象共有3個交點，即共有3個實根，其中有兩個關(guān)于原點對稱，第三個為1；
故其實根之和為1；
故選D．

點評 本題考查了分段函數(shù)與周期函數(shù)的圖象及性質(zhì)，同時考查了方程的根與函數(shù)的圖象的交點的關(guān)系應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題．