Question

4．已知$\overrightarrow m=（a，b）$，$\overrightarrow{n}$=（2sinx，2cosx），其中a，b，x∈R．若f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，滿足f（$\frac{π}{3}$）=2，且f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{5π}{6}$對(duì)稱．
（1）求a，b的值；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）+log₂k=0在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上總有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量數(shù)量積的定義求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性和最值之間的關(guān)系利用輔助角公式建立方程關(guān)系即可，求a，b的值；
（2）利用方程和函數(shù)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值相同問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出函數(shù)的值域進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2asinx+2bcosx，f（$\frac{π}{3}$）=2，
∴f（$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$a+b=2，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=2acosx-2bsinx，
∵導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{5π}{6}$對(duì)稱，
∴|-$\sqrt{3}$a-b|=$\sqrt{4{a}^{2}+4^{2}}$=2，
即a²+b²=1，
∵$\sqrt{3}$a+b=2，
∴消去b得4a²-4$\sqrt{3}$a+3=0，
即（2a-$\sqrt{3}$）²=0，
則a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=$\frac{1}{2}$；
（2）∵a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=$\frac{1}{2}$；
∴f（x）=$\sqrt{3}$sinx+cosx=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
若關(guān)于x的方程f（x）+log₂k=0在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上總有實(shí)數(shù)解，
則等價(jià)為log₂k=-f（x）=-2sin（x+$\frac{π}{3}$）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上總有實(shí)數(shù)解，
設(shè)g（x）=）=-2sin（x+$\frac{π}{3}$），
當(dāng)0≤x≤$\frac{π}{2}$時(shí)，$\frac{π}{3}$≤x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{5π}{6}$，
則$\frac{1}{2}$≤sin（x+$\frac{π}{3}$）≤1，
則-2≤-2sin（x+$\frac{π}{3}$）≤-1，
由-2≤log₂k≤-1，
解得$\frac{1}{4}$≤k≤$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用三角函數(shù)的輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．