Question

12．已知|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=3，（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=61．
（I）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|；
（II）若$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）進行數(shù)量積的運算，可以求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=-6$，從而可以求出$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}^{2}$，進而可以得出$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$的值；
（2）由上面求出的$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=-6$便可求出∠ABC的值，根據(jù)三角形的面積公式即可得出△ABC的面積．

解答 解：（1）由已知條件，$4{\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow-3{\overrightarrow}^{2}=4•16-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow-3•9=61$；
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b=-6$；
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}=16-12+9=13$；
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=\sqrt{13}$；
（2）如圖，
由題意可得，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=12cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=-6$；
$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=-\frac{1}{2}$；
∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{2π}{3}$；
∴$∠ABC=\frac{π}{3}$；
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}|{\overrightarrow a}||{\overrightarrow b}|sin∠ABC=3\sqrt{3}$；
即△ABC的面積為3$\sqrt{3}$．

點評 考查向量數(shù)量積的運算及其計算公式，要求$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$的值，先求$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}^{2}$的方法，向量夾角的概念，需清楚向量夾角的范圍，以及三角形的面積公式：S=$\frac{1}{2}absinC$．