Question

如圖，體育館計(jì)劃用運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的邊角地建造一個(gè)矩形健身室，四邊形ABCD是一塊正方形地皮，邊長(zhǎng)為a（a＞40m），扇形CEF是運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的一部分，半徑為40m，矩形AGHM就是計(jì)劃的健身室，其中G、M分別在AB、AD上，H在

EF

上．設(shè)矩形AGHM的面積為S，∠HCF=θ，試將S表達(dá)為θ的函數(shù)，并且指出當(dāng)H在

EF

上何處時(shí)，健身室的面積最大，最大值是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：扇形面積公式

專(zhuān)題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：先利用線段之間的關(guān)系求出矩形AGHM的面積S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式，再借助于θ的取值范圍以及二次函數(shù)在閉區(qū)間上求最值的方法即可求出矩形面積最大值，以及H在

EF

上的位置．

解答： 解：延長(zhǎng)MH交BC于點(diǎn)R，則AM=AD-MD=a-40sinθ，AG=AB-BG=a-40cosθ，
于是，S=AG•AM=a²-40a（sinθ+cosθ）+1600sinθ•cosθ
令t=sinθ+cosθ=

2

sin（θ+45°），則sinθcosθ=

t2-1

2

，
所以S=a²-40at+1600

t2-1

2

=800（t-

a

40

）²+

a2

2

-800．
∵0⁰≤θ≤90⁰
∴1≤t≤

2

∴當(dāng)t=1，即θ=0°或90°時(shí)，S有最大值a²-40a，
此時(shí)點(diǎn)H在E或F點(diǎn)，矩形面積最大值為a²-40a．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用問(wèn)題．解決本題的關(guān)鍵在于求出矩形CRGP的面積S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式．