Question

7．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，對任意x∈R恒有f（x-2）=f（x）+f（2），且當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=2^x-1，則f（log₂36）=（　�。�

• A． 35
• B． $-\frac{7}{16}$
• C． $-\frac{7}{9}$
• D． $\frac{7}{16}$

Answer 1

分析 由已知可得f（2）=0，則對任意x∈R恒有f（x-2）=f（x），結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得答案．

解答 解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
又∵對任意x∈R恒有f（x-2）=f（x）+f（2），
∴f（2-2）=f（2）+f（2）=0，
即f（2）=0，
即對任意x∈R恒有f（x-2）=f（x），
故函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
∴f（log₂36）=f（log₂9）=f（log₂$\frac{9}{4}$）=f（log₂$\frac{9}{16}$）=-f（log₂$\frac{16}{9}$）=${2}^{{log}_{2}\frac{9}{4}}$-1=-（${2}^{{log}_{2}\frac{16}{9}}$-1）=-$\frac{7}{9}$，
故選：C

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)的周期性，函數(shù)求值，對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，難度中檔．