Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點為F，C與過原點的直線相交于A、B兩點，連結AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=

4

5

，則C的離心率e=

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：在△AFB中，由余弦定理可得|AF|²=|AB|²+|BF|²-2|AB||BF|cos∠ABF，即可得到|BF|，設F′為雙曲線的右焦點，連接BF′，AF′．根據(jù)對稱性可得四邊形AFBF′是矩形．即可得到a，c，進而求得離心率．

解答： 解：在△AFB中，由余弦定理可得|AF|²=|AB|²+|BF|²-2|AB||BF|cos∠ABF，
從而可得（|BF|-8）²=0，解得|BF|=8．
設F′為雙曲線的右焦點，連接BF′，AF′．根據(jù)對稱性可得四邊形AFBF′是矩形．
∴|BF′|=6，|FF′|=10．
∴2a=|8-6|，2c=10，解得a=1，c=5．
∴e=

c

a

=5．
故答案為：5．

點評：熟練掌握余弦定理、雙曲線的定義、對稱性、離心率、矩形的性質等基礎知識是解題的關鍵．