Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n+1=kS_n+2（n∈N^*），且a₁=2，a₂=1．
（1）求k的值；
（2）求證{S_n-4}為等比數(shù)列；
（3）是否存在正整數(shù)m，n，使得

Sn-m

Sn+1-m

＜

1

2

成立？若存在，求出這樣的正整數(shù)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S₂=kS₁+2，得a₁+a₂=ka₁+2，代入數(shù)值可求k；．
（2）由 （1）知知Sn+1=

1

2

Sn+2，Sn=

1

2

Sn-1+2，兩式相減可得遞推式，由遞推式可判斷該數(shù)列為等比數(shù)列，從而可求S_n．
（3）表示出不等式，可化為2＜2ⁿ（4-m）＜6，假設(shè)存在正整數(shù)m，n使得上面的不等式成立，則只能是2ⁿ（4-m）=4，從而可得m，n的方程組，解出即可作出判斷．

解答： （1）解：由條件S_n+1=kS_n+2（n∈N^*），
得S₂=kS₁+2，即a₁+a₂=ka₁+2，
∵a₁=2，a₂=1，∴2+1=2k+2，解得k=

1

2

．…（4分）
（2）證明：由（1）知Sn+1=

1

2

Sn+2，①
Sn=

1

2

Sn-1+2，②
①-②得an+1=

1

2

an，（n≥2）
又a2=

1

2

a1，a_n≠0，n∈N^*，
∴

an+1

an

=

1

2

，（n∈N^*），
∴{a_n}是等比數(shù)列，公比為

1

2

，首項為2，
∴Sn=

2[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=4（1-

1

2n

）=4-2^2-n，
∴S_n-4=-2^2-n．
∴數(shù)列{S_n-4}是首項為-2，公比為

1

2

的等比數(shù)列．…（8分）
（3）解：由不等式

Sn-m

Sn+1-m

＜

1

2

，
即

4(1- 1 2n )-m

4(1- 1 2n+1 )-m

＜

1

2

，
整理，得

4-m- 6 2n

4-m- 2 2n

＜0，
∴

2

2n

＜4-m＜

6

2n

，
即2＜2ⁿ（4-m）＜6．…（10分）
假設(shè)存在正整數(shù)m，n，使得上面的不等式成立，由于2ⁿ為偶數(shù)，4-m為整數(shù)，
則只能是2ⁿ（4-m）=4，
∴

2n=2 4-m=2

，或

2n=4 4-m=1

，
解得n=1，m=2，或n=2．m=3，
于是，存在正整數(shù)m=2，n=1或m=3，n=2，
使得使得

Sn-m

Sn+1-m

＜

1

2

成立．…（13分）

點評：本題考查數(shù)列求和、數(shù)列與不等式的綜合，考查學(xué)生解決問題的能力，本題運算量較大，解題時要認真審題，仔細解答．