Question

若函數(shù)f（x）滿足：存在T∈R，T≠0，對定義域內(nèi)的任意x，f（x+T）=f（x）+f（T）恒成立，則稱f（x）
為T函數(shù)．現(xiàn)給出下列函數(shù)：①y=

1

x

； ②y=e^x；③y=lnx；④y=sinx．其中為T函數(shù)的序號是

 

．（把你認為正確的序號都填上）

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：通過賦值法，求出f（0）的函數(shù)值，逐一判斷4個函數(shù)推出結(jié)果．

解答： 解：函數(shù)f（x）滿足：存在T∈R，T≠0，對定義域內(nèi)的任意x，f（x+T）=f（x）+f（T）恒成立，
令x=0，可得：f（0+T）=f（0）+f（T），∴f（0）=0；f（T）是常數(shù)．
若f（T）＞0，則函數(shù)是增函數(shù)；
若f（T）=0，則函數(shù)是周期函數(shù)；
若f（T）＜0，則函數(shù)是減函數(shù)；
①y=

1

x

；x=0函數(shù)沒有意義，在定義域內(nèi)，不是增函數(shù)、減函數(shù)、周期函數(shù)，∴①不正確； 
②y=e^x；f（0）=1，②不正確；
③y=lnx；x=0函數(shù)沒有意義，函數(shù)是增函數(shù)，但是從變化趨勢看不是線性關(guān)系，∴③不正確；
④y=sinx．f（0）=0，并且函數(shù)是周期函數(shù)，符合題意；④正確．
綜上所述，屬于為T函數(shù)的序號是④．
故答案為：④．

點評：本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，新定義的理解與掌握是解題的關(guān)鍵，同時注意特值法的應(yīng)用．