Question

函數(shù)f（x）=sin²xcosx的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：把原函數(shù)化為僅含cosx的函數(shù)，換元后利用導(dǎo)數(shù)求最大值．

解答： 解：f（x）=sin²xcosx=（1-cos²x）•cosx=cosx-cos³x．
令t=cosx（-1≤t≤1），
則y=t-t³（-1≤t≤1），
∴y′=1-3t²，
∴當(dāng)t∈（-1，-

3

3

），（

3

3

，1）時(shí)，y′＜0，y=t-t³為減函數(shù)，
當(dāng)t∈（-

3

3

，

3

3

）時(shí)，y′＞0，y=t-t³為增函數(shù)．
∴當(dāng)t=

3

3

時(shí)，y有極大值為

3

3

-(

3

3

)3=

2 3

9

．
由當(dāng)t=-1時(shí)，y=-1-（-1）³=0．
∴y=t-t³（-1≤t≤1）的最大值為

2 3

9

．
故答案為：

2 3

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的最值，考查了換元法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．