Question

已知：無論a取何值，直線（a+2）x+（a+1）y+a=0始終平分半徑為2的圓C．
（1）求圓C的標準方程；
（2）過點A（-1，4）作圓C的切線l，求切線l的方程．

Answer 1

考點：圓的切線方程,圓的標準方程

專題：直線與圓

分析：（1）求出動直線經(jīng)過的定點，即圓C的圓心，然后代入圓的標準方程得答案；
（2）分切線斜率存在和不存在兩種情況討論，斜率不存在時直接寫出切線方程，斜率存在時設(shè)出切線方程，由圓心到切線的距離等于圓的半徑求解斜率，則切線方程可求．

解答： 解：（1）由（a+2）x+（a+1）y+a=0，得
a（x+y+1）+2x+y=0，
聯(lián)立

x+y+1=0 2x+y=0

，解得：

x=1 y=-2

．
∴直線（a+2）x+（a+1）y+a=0過定點（1，-2）．
即圓的圓心為（1，-2）．
又圓的半徑為2．
∴圓的方程為：（x-1）²+（y+2）²=4；
（2）如圖，

當切線l的斜率不存在時，切線方程為x=-1；
當切線l的斜率存在時，設(shè)切線方程為y-4=k（x+1），
整理得：kx-y+k+4=0．
由圓心（1，-2）到切線的距離等于圓的半徑得：

|1×k-1×(-2)+k+4|

k2+1

=2，解得：k=-

4

3

．
∴切線l的方程為：-

4

3

x-y-

4

3

+4=0．
整理得：4x+3y-8=0．
綜上，圓的切線方程為x=-1或4x+3y-8=0．

點評：本題考查圓的標準方程的求法，訓(xùn)練了直線系方程的用法，考查了利用幾何法求圓的切線方程，是中檔題．