Question

4．與橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1共焦點，且過點P（3$\sqrt{2}$，$\sqrt{7}$）的雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{7}=1$．

Answer 1

分析 根據橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，得到a²=25，b²=9，所以c²=a²-b²=16，再設所求雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{m}-\frac{{y}^{2}}{n}$=1，（m＞0，n＞0）．然后結合題意：雙曲線與橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1共焦點，且過點P（3$\sqrt{2}$，$\sqrt{7}$），列出方程組并解之可得m=9，n=7，從而得到所求雙曲線的方程．

解答 解：∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1中，a²=25，b²=9，
∴c²=a²-b²=16
設雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{m}-\frac{{y}^{2}}{n}$=1，（m＞0，n＞0）
∵雙曲線與橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1共焦點，且過點P（3$\sqrt{2}$，$\sqrt{7}$），
∴m+n=16且$\frac{18}{m}-\frac{7}{n}$=1，解之可得m=9，n=7，
∴雙曲線方程是$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{7}=1$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{7}=1$．

點評 本題給出與已知橢圓共焦點的雙曲線且經過一個已知定點，求雙曲線的標準方程，著重考查了橢圓的基本概念和雙曲線的簡單幾何性質，屬于中檔題．