Question

14．如圖，M是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱DD₁的中點(diǎn)，給出下列命題：
①過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB，B₁C₁都相交；
②過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB，B₁C₁都垂直；
③過(guò)M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB，B₁C₁都相交；
④在平面BB₁C₁C上存在無(wú)窮條直線與平面A₁BM平行；
⑤過(guò)M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB，B₁C₁都平行．
其中真命題的序號(hào)是①②④⑤．

Answer 1

分析 ①由過(guò)AB與M的平面與B₁C₁相交，連接交點(diǎn)與M點(diǎn)的直線與AB相交判斷①正確；
②利用過(guò)空間一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面平行判斷②正確；
③可舉反例，即找到兩個(gè)或兩個(gè)以上過(guò)點(diǎn)m且與直線AB、B₁C₁都相交的平面，即可判斷③錯(cuò)誤；
④由公理3可知平面BB₁C₁C與平面A₁BM有交線，再由線面平行的判斷可得④正確；
⑤利用線面平行的性質(zhì)來(lái)判斷⑤正確．

解答 解：過(guò)M點(diǎn)與直線AB有且只有一個(gè)平面，該平面與直線B₁C₁相交，設(shè)交點(diǎn)為P，
連接MP，則MP 與直線AB相交，∴過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB、B₁C₁都相交．①正確；
∵直線BC∥直線B₁C₁，直線BC與直線AB確定平面ABCD，過(guò)點(diǎn)M有且只有直線D₁D⊥平面ABCD，
即過(guò)點(diǎn)M有且只有直線D₁D與直線AB，B₁C₁都垂直．②正確；
過(guò)M點(diǎn)與直線AB有且只有一個(gè)平面，該平面與直線B₁C₁相交，
過(guò)M點(diǎn)與直線B₁C₁有且只有一個(gè)平面，該平面與直線AB相交，
∴過(guò)點(diǎn)M不止一個(gè)平面與直線AB、B₁C₁都相交．③錯(cuò)誤；
∵平面BB₁C₁C與平面A₁BM有公共點(diǎn)B，則兩平面有交線，在平面BB₁C₁C內(nèi)，與交線平行的直線都與平面A₁BM平行．④正確；
過(guò)M分別作AB，B₁C₁的平行線，都有且只有一條，這兩條平行線成為相交直線，確定一個(gè)平面，
該平面與AB，B₁C₁平行，且只有該平面與兩直線平行．⑤正確．
故答案為①②④⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．