Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax（a＞0）對(duì)于給定的正數(shù)a，有一個(gè)最大的正數(shù)M（a），使得在整個(gè)區(qū)間[0，M（a）]上不等式|f（x）|≤5恒成立，求出M（a）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)對(duì)折變換，由已知中在整個(gè)區(qū)間[0，M（a）]上不等式|f（x）|≤5恒成立，分-a²＜-5時(shí)和-a²≥-5時(shí)，兩種情況分別求出對(duì)應(yīng)的M（a）的解析式，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答： 解：由a＞0，f（x）=x²-2ax=（x-a）²-a²，
當(dāng)-a²＜-5，即a＞

5

時(shí)，
要使|f（x）|≤5，在x∈[0，M（a）]上恒成立，
要使得M（a）最大，M（a）只能是x²-2ax=-5的較小的根，
即M（a）=a-

a2-5

；
當(dāng)-a²≥-5，即0＜a≤

5

時(shí)，
要使|f（x）|≤5，在x∈[0，M（a）]上恒成立，
要使得M（a）最大，M（a）只能是x²-2ax=5的較大的根，
即M（a）=a+

a2+5

；
所以M（a）=

a- a2-5 ，a＞ 5 a+ a2+5 ，0＜a≤ 5

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的最值，對(duì)折變換，分類討論思想，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度較大．