Question

【題目】已知函數(shù) .

（1）求時，的單調(diào)區(qū)間；

（2）若存在，使得對任意的，都有，求的取值范圍，并證明.

Answer 1

【答案】（1）在為減函數(shù)，為增函數(shù)；（2），證明見解析

【解析】

（1）由得，對函數(shù)求導(dǎo)，得到， 令，用導(dǎo)數(shù)法方法判斷其單調(diào)性，求出在上為增函數(shù)，再由，即可求出結(jié)果；

（2）先對函數(shù)求導(dǎo)，得到，根據(jù)題意，得到為在的極小值點，故，設(shè)，對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，得到，推出，再令，用導(dǎo)數(shù)的方法求出其單調(diào)性，進(jìn)而可得出結(jié)果.

（1）當(dāng)時，，

，

令，則，

所以，由得；由得，

即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

因此，所以在上單調(diào)遞增；

即在上為增函數(shù).

又因為，

所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；

故在為減函數(shù)，為增函數(shù).

(2) ，

因為對任意的恒成立，所以為在的極小值點，故①.

設(shè)，則當(dāng) 時，，

所以在上為增函數(shù)，而，.

由①可知，從而 ，故.

又由，即，

所以

.

令，其中，則，為上的減函數(shù)，

故，而，

所以.