Question

在等差數(shù)列{a_n}中，a₁+a₂=7，a₃=8．令b_n=

1

anan+1

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式和T_n；
（Ⅱ）是否存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)和公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．由bn=

1

anan+1

=

1

3

(

1

3n-1

-

1

3n+2

)，利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，T1=

1

10

，Tm=

m

2(3m+2)

，Tn=

n

2(3n+2)

，假設(shè)存在正整數(shù)m、n，（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列，從而得到

m2

(3m+2)2

=

n

5(3n+2)

，由此能求出存在滿足條件的正整數(shù)m、n，此時(shí)m=2，n=10．

解答： （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，
由

a1+a2=7 a3=8

，得

2a1+d=7 a1+2d=8

，
解得a₁=2，d=3，
∴a_n=2+3（n-1）=3n-1，（3分）
∵bn=

1

anan+1

=

1

(3n-1)[3(n+1)-1]

=

1

(3n-1)(3n+2)

=

1

3

(

1

3n-1

-

1

3n+2

)，
∴Tn=

1

3

(

1

2

-

1

5

+

1

5

-

1

8

+…+

1

3n-1

-

1

3n+2

)
=

1

3

(

1

2

-

1

3n+2

)
=

n

2(3n+2)

．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，T1=

1

10

，Tm=

m

2(3m+2)

，Tn=

n

2(3n+2)

，
假設(shè)存在正整數(shù)m、n，（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列，
則Tm2=T1•Tn，即[

m

2(3m+2)

]²=

1

10

×

n

2(3n+2)

，（2分）
經(jīng)化簡，得

m2

(3m+2)2

=

n

5(3n+2)

，
∴（3m+2）²n=15m²n+10m²，
∴（-3m²+6m+2）n=5m²，（*）（3分）
當(dāng)m=2時(shí)，（*）式可化為2n=20，所以n=10，（5分）
當(dāng)m≥3時(shí)，-3m²+6m+2=-3（m-1）²+5≤-7＜0，
又∵5m²＞0，∴（*）式可化為n=

5m2

-3m2+6m+2

＜0，
所以此時(shí)n無正整數(shù)解．（7分）
綜上可知，存在滿足條件的正整數(shù)m、n，此時(shí)m=2，n=10．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)是否存在的判斷與求法，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．