Question

如圖在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，
（1）求證：BD⊥PC．
（2）若PA=2AB，∠BAD=45°，求PD與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）證明BD⊥平面PAC，利用直線與平面垂直的性質(zhì)即可證得BD⊥PC；
（2）過D作DE⊥AB，垂足為E，連接PE，則DE⊥平面PAB，∠DPE是PD與平面PAB所成角，即可求解．

解答： （1）證明：∵PA⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴PA⊥BD；①
又底面ABCD是菱形，
∴AC⊥BD；②
PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，PC?平面PAC，
∴BD⊥PC；
（2）解：過D作DE⊥AB，垂足為E，連接PE，則DE⊥平面PAB，
∴∠DPE是PD與平面PAB所成角，
設(shè)DE=1，則AD=

2

，PA=2

2

，
∴PD=

2+8

=

10

，
∴sin∠DPE=

DE

PD

=

10

10

．

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，熟練掌握線面垂直與平行的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．屬于中檔題．