Question

外國(guó)油輪（簡(jiǎn)稱外輪）除特許外，不得進(jìn)入離我國(guó)海岸線12海里以內(nèi)的區(qū)域．如圖所示，我國(guó)某海島是由半徑為10海里的一段圓弧

ABC

（

3

4

圓周）和線段AC所圍的區(qū)域（A、B、C分別位于圓心O的正西、正東和正北位置）．在A、B設(shè)有兩個(gè)觀察點(diǎn)，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在P點(diǎn)處停有一外輪，并測(cè)得∠BAP=30°，∠ABP=120°．
（1）該外輪是否已進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海主權(quán)范圍內(nèi)？
（2）該外輪因故障向我方求助，我方停泊在A處的求助船緊急起航，首先沿正北方向AN行駛一段至點(diǎn)M位置，再?gòu)腗（“拐點(diǎn)”）向右拐頭沿直線MP前往出事點(diǎn)，記“拐角”∠NMP的大小為θ．由于水域的原因，救助船沿AN方向的行船最大速度是MP方向行船最大速度的λ倍．試確定cosθ的值，使我方救助船到達(dá)P點(diǎn)的時(shí)間最短．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：解三角形

分析：（1）連接OP，根據(jù)已知條件求得∠APB，求得OP，跟22比較大小即可．
（2）作PQ⊥AN于Q，PS⊥AB于S，確定∠NMP=θ，設(shè)MP方向的船速為V，表示出我救助船全速到達(dá)P點(diǎn)共所需時(shí)間，令T′（θ）=0求得cosθ，利用導(dǎo)函數(shù)與0的比較確定此時(shí)cosθ最小值，另一方面，延長(zhǎng)PC與AN交于M₀，須QM₀≥QM救助船才能沿直線MP航行根據(jù)cosθ≤cos∠QM₀P，求得λ的范圍，最后綜合求得cosθ．

解答： 解：（1）連接OP，因∠BAP=30°，∠ABP=120°，
∴∠APB=30°．
在△PBO中，OP²=10²+20²-2×10×20cos120°=700OP²＞（10+12）²，即OP＞22，故該外輪未進(jìn)入我領(lǐng)海主權(quán)范圍內(nèi)．
（2）作PQ⊥AN于Q，PS⊥AB于S，則AQ=SP=10

3

，PQ=30，
因∠NAP=60°，∠NMP=θ，首先應(yīng)有θ＞60°，PM=

30

sinθ

，AM=10

3

-

30cosθ

sinθ

，
設(shè)MP方向的船速為V，則我救助船全速到達(dá)P點(diǎn)共所需時(shí)間為T(θ)=

1

λV

(10

3

-

30cosθ

sinθ

)+

1

V

•

30

sinθ

=

10 3

λV

+

30

λV

×

λ-cosθ

sinθ

，
T′(θ)=

30

λV

×

1-λcosθ

sin2θ

，令T′（θ）=0得cosθ=

1

λ

，設(shè)使cosθ=

1

λ

的銳角為θ_λ，在當(dāng)θ∈（60°，θ_λ）時(shí)，T'（θ）＜0，當(dāng)θ∈（θ_λ，90°）時(shí)，T'（θ）＞0；T（θ）在（60°，θ_λ）上遞減，在（θ_λ，90°）上遞增，
所以當(dāng)cosθ=

1

λ

時(shí)，T（θ）取得最小值．
另一方面，延長(zhǎng)PC與AN交于M₀，須QM₀≥QM救助船才能沿直線MP航行，cosθ≤cos∠QM0P=

10 3 -10

(10 3 -10)2+202

=

3 -1

8-2 3

，
由

1

λ

≤

3 -1

8-2 3

解得λ≥

5+2 3

，此時(shí)θ_λ≥∠QM₀P，而當(dāng)λ＜

5+2 3

時(shí)，θ_λ＜∠QM₀P，
由T（θ）的單調(diào)性知θ取∠QM₀P時(shí)，T（θ）最�。�
綜上可知，為使到達(dá)P點(diǎn)時(shí)間最短，當(dāng)λ≥

5+2 3

時(shí)，救助船選擇的拐角θ應(yīng)滿足cosθ=

1

λ

；當(dāng)λ＜

5+2 3

時(shí)，救助船應(yīng)在M₀處拐頭直朝P點(diǎn)航行，此時(shí)cosθ=

3 -1

8-2 3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用．考查了學(xué)生分析推理和解決實(shí)際問(wèn)題的能力．