Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點為，離心率為，點在橢圓上，且的面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線與橢圓交于不同的兩點，若在軸上存在點，使得，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)離心率得到，由的面積的最大值為得到，再結合橢圓中求出參數(shù)的值后可得方程．（2）將直線方程代入橢圓方程消去y得到關于x的二次方程，結合根據(jù)系數(shù)的關系求出線段的中點的坐標，由得，進而有，并由此得到，最后根據(jù)基本不等式得到所求范圍．

（1）由題意得，解得．

∴橢圓的方程為．

（2）由消去y整理得，

且．

設，線段的中點為，

則．

∴，

∴．

∵在軸上存在點，使得，

∴，

∴，即，

∴．

∵，

∴，當且僅當且，即時等號成立．

∴，故．

∴實數(shù)的取值范圍為．