Question

下列說(shuō)法正確的是

 

（請(qǐng)把你認(rèn)為正確說(shuō)法的序號(hào)都填上）．
①與

a

=（-3，4）共線(xiàn)的單位向量是（-

4

5

，

3

5

）；
②函數(shù)f（x）=cos²x+2sin²x的最小正周期為π；
③y=

1-x2

x+|3-x|

是偶函數(shù)；
④P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若

PA

•

PB

=

PB

•

PC

=

PC

•

PA

，則P是△ABC的垂心；
⑤若函數(shù)y=log

1

2

（x²-2ax+3）的值域?yàn)镽，則a的取值范圍是（-

3

，

3

）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：綜合題

分析：①與

a

=（-3，4）共線(xiàn)的單位向量有兩個(gè)，判定命題①是錯(cuò)誤的；
②化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），求出它的最小正周期，判定命題②是否正確；
③求出函數(shù)y的定義域，判定函數(shù)y=f（x）的奇偶性，從而判定命題③是否正確；
④由

PA

•

PB

=

PB

•

PC

=

PC

•

PA

，得出

PB

⊥

CA

，

PC

⊥

AB

，即得P是△ABC的垂心，判定命題④正確；
⑤求出函數(shù)y=log

1

2

（x²-2ax+3）值域?yàn)镽時(shí)，a的取值范圍，判定命題⑤是否正確．

解答： 解：對(duì)于①，與

a

=（-3，4）共線(xiàn)的單位向量是（-

3

5

，

4

5

）和（

3

5

，-

4

5

），
∴命題①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，函數(shù)f（x）=cos²x+2sin²x=1+sin²x=

3

2

-

1

2

cos2x，它的最小正周期為π，
命題②正確；
對(duì)于③，函數(shù)y=

1-x2

x+|3-x|

的定義域是（-1，1），化簡(jiǎn)函數(shù)為y=f（x）=

1-x2

3

，
滿(mǎn)足在定義域內(nèi)f（-x）=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)，命題③正確；
對(duì)于④，在△ABC中，∵

PA

•

PB

=

PB

•

PC

=

PC

•

PA

，∴（

PA

-

PC

）•

PB

=0，即

CA

•

PB

=0，
∴

PB

⊥

CA

，同理

PC

⊥

AB

，
∴P是△ABC的垂心，命題④正確；
對(duì)于⑤，∵函數(shù)y=log

1

2

（x²-2ax+3）的值域?yàn)镽，t=x²-2ax+3取遍所有的正數(shù)，
∴（-2a）²-4×1×3≥0，解得a≤-

3

，或a≥

3

，
即a的取值范圍是（-∞，-

3

]∪[

3

，+∞），
∴命題⑤錯(cuò)誤．
所以，以上正確的命題是②③④；
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的奇偶性與求值域的問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，以便作出正確的選擇．