Question

一個盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨機抽取50個作為樣本，稱出它們的重量（單位：克），重量分組區(qū)間為（5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到樣本的重量頻率分布直方圖，如圖．
（1）求a的值；
（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計盒子中小球重量的平均值；
（注：設樣本數(shù)據(jù)第i組的頻率為p_i，第i組區(qū)間的中點值為x_i（i=1，2，3，…，n），則樣本數(shù)據(jù)的平均值為

.

X

=x₁p₁+x₂p₂+x₃p₃+…+x_np_n．）
（3）從盒子中隨機抽取3個小球，其中重量在（5，15]內的小球個數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由頻率分布直方圖所給的數(shù)據(jù)能求出a．
（2）先由頻率直方圖的數(shù)據(jù)求出50個樣本小球重量的平均值，由樣本估計總體，可估計盒子中小球重量的平均值．
（3）利用樣本估計總體，該盒子中小球重量在（5，15]內的概率為0.2，且ξ～B（3，

1

5

）．ξ的取值為0，1，2，3，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學期望．

解答： 解：（1）由題意，得（0.02+0.032+a+0.018）×10=1，…（1分）
解得a=0.03．…（2分）
（2）50個樣本小球重量的平均值為

.

x

=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克）．…（3分）
由樣本估計總體，可估計盒子中小球重量的平均值約為24.6克．…（4分）
（3）利用樣本估計總體，該盒子中小球重量在（5，15]內的概率為0.2，
則ξ～B（3，

1

5

）．…（5分）
ξ的取值為0，1，2，3，…（6分）
P（ξ=0）=

C

0 3

（

4

5

）³=

64

125

，
P（ξ=1）=

C

1 3

（

1

5

）（

4

5

）²=

48

125

，
P（ξ=2）=

C

2 3

（

1

5

）²（

4

5

）=

12

125

，
P（ξ=3）=

C

3 3

（

1

5

）³=

1

125

．…（10分）
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	64 125	48 125	12 125	1 125

…（11分）
∴Eξ=0×

64

125

+1×

48

125

+2×

12

125

+3×

1

125

=

3

5

．…（12分）

點評：本題考查頻率分布直方圖的應用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．