Question

在如圖所示的多面體中，四邊形ABCD為正方形，四邊形ADPQ是直角梯形，AD⊥DP，CD⊥平面ADPQ，AB=AQ=

1

2

DP．
（1）求證：PQ⊥平面DCQ；
（2）求平面BCQ與平面ADPQ所成的銳二面角的大�。�

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）以D為原點，DA、DP、DC所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能證明PQ⊥平面DCQ．
（2）分別求出平面ADPQ的一個法向量和平面BCQ的一個法向量，由此利用向量法能求出平面BCQ與平面ADPQ所成的銳二面角的大�。�

解答： （1）證明：由已知，DA，DP，DC兩兩垂直，
以D為原點，DA、DP、DC所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．…（1分）
設(shè)A=a，則D（0，0，0），C（0，0，a），Q（a，a，0），P（0，2a，0），
∴

DC

=（0，0，a），

DQ

=（a，a，0），

PQ

=（a，-a，0），…（3分）
∵

DC

•

PQ

=0，

DQ

•

PQ

=0，
∴DC⊥PQ，DQ⊥PQ，…（5分）
∴PQ⊥平面DCQ．…（6分）
（2）解：∵DC⊥平面ADPQ，

DC

=（0，0，a），
∴平面ADPQ的一個法向量為

n

=(0，0，1)，…（1分）
點B的坐標為（a，0，a），則

QB

=(0，-a，a)，

QC

=(-a，-a，a)，…（2分）
設(shè)平面BCQ的一個法向量為

m

=（x，y，z），則

m

•

QB

=0，

m

•

QC

=0，
∴

-ay+az=0 -ax-ay+az=0

，取y=z=1，得

m

=（0，1，1），…（5分）                              …（5分）
設(shè)平面BCQ與平面ADPQ所成的銳二面角為θ，
則cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

1

2

|=

2

2

．  …（7分）
∴平面BCQ與平面ADPQ所成的銳二面角的大小為

π

4

．…（8分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．