Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰有兩個相異實根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而求出單調(diào)區(qū)間，（2）引進新函數(shù)g（x）由題意得出方程組，從而求出a的范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)的定義域為（-1，+∞），
∵f（x）=（1+x）²-2ln（1+x），
∴f′（x）=2（x+1-

1

x+1

），
由f′（x）＞0，得x＞0；
由f′（x）＜0，得-1＜x＜0，
∴f（x）的遞增區(qū)間是（0，+∞），遞減區(qū)間是（-1，0）．
（2）方程f（x）=x²+x+a，
即x-a+1-2ln（1+x）=0，
記g（x）=x-a+1-2ln（1+x）（x＞-1），
則g′（x）=1-

2

1+x

=

x-1

x+1

，
由g′（x）＞0，得x＞1；由g′（x）＜0，得-1＜x＜1．
所以g（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增．
為使f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰有兩個相異的實根，
只須g（x）=0在[0，1）和（1，2]上各有一個實根，
于是有

g(0)≥0 g(1)＜0 g(2)≥0

，即

-a+1≥0 2-a-2ln2＜0 3-a-2ln3≥0

，
解得2-2ln 2＜a≤3-2ln 3，
故實數(shù)a的取值范圍是（2-2ln 2，3-2ln 3]．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．