Question

設函數(shù)f（x）=lnx-

1

2

x²
（1）討論f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求f（x）在區(qū)間[

1

e

，e]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由已知條件得x＞0，f′(x)=

1

x

-x=

1-x2

x

，由此能求出f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞））上單調(diào)遞減．
（2）f（x）在（

1

e

，1）上單調(diào)遞增，在（1，e）上單調(diào)遞減，由此能求出f（x）在區(qū)間[

1

e

，e]上的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=lnx-

1

2

x²，
∴x＞0，f′(x)=

1

x

-x=

1-x2

x

，

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0
f（x）	↑	極大值	↓

∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞））上單調(diào)遞減．…（5分）
（2）由（1）知f（x）在（

1

e

，1）上單調(diào)遞增，在（1，e）上單調(diào)遞減，
f（x）最大值為f（1）=-

1

2

．…（7分）
f（

1

e

）-f（e）=

e4-4e2-1

2e2

＞0．…（8分）
f（x）最小值為f（e）=1-

1

2

e2．…（10分）

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查函數(shù)在閉區(qū)間上的最值勤的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的靈活運用．