【題目】對于定義域為[0,1])的函數(shù)f(x),如果同時滿足以下三條:①對任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0;②f (1)=1;③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù).
(1)判斷函數(shù)g(x)=2x﹣1(x∈[0,1])是否為理想函數(shù),并予以證明;
(2)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù),假定存在x0∈[0,1],使得f(x0)∈[0,1],且f(f(x0))=x0,求證f(x0)=x0.
【答案】(1)g(x)為理想函數(shù);見解析(2)見解析
【解析】
(1)根據(jù)理想函數(shù)滿足的條件逐個判斷即可.
(2)利用條件③中的性質(zhì),再利用反證法證明即可.
(1)顯然g(x)=2x﹣1在[0,1]滿足條件①g(x)≥0,也滿足條件②g(1)=1,
若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,
則
,滿足條件③,
故g(x)為理想函數(shù);
(2)證明:由條件③知,任給m,n∈[0,1],當(dāng)m<n時,由m<n知,n﹣m∈[0,1],
∴f(n)=f(n﹣m+m)≥f(n﹣m)+f(m)≥f(m),
若x0<f(x0),則f(x0)≤f[f(x0)]=x0,矛盾;
若x0>f(x0),則f(x0)≥f[f(x0)]=x0,矛盾;
故x0=f(x0).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若時,取得極值,求的值;
(2)若在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中學(xué)生研學(xué)旅行是通過集體旅行、集中食宿方式開展的研究性學(xué)習(xí)和旅行體驗相結(jié)合的校外教育活動,是學(xué)校教育和校外教育銜接的創(chuàng)新形式,是綜合實踐育人的有效途徑.每年暑期都會有大量中學(xué)生參加研學(xué)旅行活動.為了解某地區(qū)中學(xué)生暑期研學(xué)旅行支出情況,在該地區(qū)各個中學(xué)隨機(jī)抽取了部分中學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,從中統(tǒng)計得到中學(xué)生暑期研學(xué)旅行支出(單位:百元)頻率分布直方圖如圖所示.
(1)利用分層抽樣在,,三組中抽取5人,應(yīng)從這三組中各抽取幾人?
(2)從(1)抽取的5人中隨機(jī)選出2人,對其消費情況進(jìn)行進(jìn)一步分析,求這2人不在同一組的概率;
(3)假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)都用該區(qū)間的左端點值代替,估計該地區(qū)中學(xué)生暑期研學(xué)旅行支出的平均值.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知點和.
()若, 是正方形一條邊上的兩個頂點,求這個正方形過頂點的兩條邊所在直線的方程;
()若, 是正方形一條對角線上的兩個頂點,求這個正方形另外一條對角線所在直線的方程及其端點的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中國男子籃球甲級聯(lián)賽的規(guī)則規(guī)定:每場比賽勝者得2 分, 負(fù)者得1 分(每場比賽, 即使通過加時賽也必須分出勝負(fù)).某男籃甲級隊實力強(qiáng)勁, 每場比賽獲勝的概率為、失利的概率為.求該隊在賽程中間通過若干場比賽獲得n 分的概率(設(shè)該隊這一賽季的全部比賽場次數(shù)為S,這里0<n ≤S).
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【題目】設(shè)全集U=R,集合A={x|1≤x<4},B={x|2a≤x<3-a}.
(1)若a=-2,求B∩A,B∩(UA);(2)若A∪B=A,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知, .
(1)當(dāng)n=1,2,3時,分別比較f(n)與g(n)的大。ㄖ苯咏o出結(jié)論);
(2)由(1)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知常數(shù),函數(shù).
(1)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性;
(2)若存在兩個極值點,且,求的取值范圍.
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