Question

在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c．若cosB=

1

4

，

sinC

sinA

=2，且S_△ABC=

15

4

，則b=

 

．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：已知第二個等式利用正弦定理化簡得到c=2a，第一個等式左邊利用余弦定理變形，將c=2a代入整理得到b=2a，根據(jù)cosB的值求出sinB的值，利用三角形面積公式列出關系式，將sinB以及已知面積代入求出ac的值，進而確定出b的值．

解答： 解：將

sinC

sinA

=2利用正弦定理化簡，得：

c

a

=2，即c=2a，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+4a2-b2

4a2

=

1

4

，
整理得：4a²=b²，即b=c=2a，
∵sinB=

1-cos2B

=

15

4

，S_△ABC=

1

2

acsinB=

15

4

，
∴

1

2

ac•

15

4

=

15

4

，即ac=2，
∴

1

2

b²=2，即b²=4，
則b=2．
故答案為：2

點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關系，熟練掌握定理是解本題的關鍵．