Question

（理）現(xiàn)有甲、乙兩個項目，對甲項目投資十萬元，一年可進行四次獨立重復的投資（即甲項目的投資周期為3個月）每次成功的概率均為

1

4

，若成功一次，可得利潤1萬元，若失敗，則利潤為0，投資要么成功，要么失�。�已知乙項目的利潤與產(chǎn)品價格的調(diào)整有關，在每次調(diào)整中價格下降的概率都是p（0＜p＜1），記乙項目產(chǎn)品價格在一年內(nèi)進行兩次獨立的調(diào)整，設乙項目產(chǎn)品價格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為ξ，對乙項目每投資十萬元，ξ取0、1、2時，一年后相應利潤是1.4萬元、1.1萬元、0.4萬元，隨機變量ξ₁、ξ₂分別表示對甲、乙兩項目各投資十萬元一年后的利潤．
（Ⅰ）求ξ₁、ξ₂的概率分布列和數(shù)學期望E（ξ₁）、E（ξ₂）；
（Ⅱ）當E（ξ₁）＜E（ξ₂）時，求實數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由已知P(ξ1=k)=

C

k 4

(

1

4

)k(

3

4

)4-k(k=0、1、2、3、4)，由此能求出ξ₁的概率分布列和數(shù)學期望；由題意知ξ₂的取值為1.4，1.1，0.4，分別求出相對應的概率，能求出ξ₂的概率分布列和數(shù)學期望．
（2）由E（ξ₁）＜E（ξ₂），得1＜-0.4p²-0.6p+1.4，由此能求出p的取值范圍．

解答： （理）解：（1）由已知：ξ₁的概率分布列為：
P(ξ1=k)=

C

k 4

(

1

4

)k(

3

4

)4-k(k=0、1、2、3、4)，
即P(ξ1=0)=(

3

4

)4=

81

256

，
P(ξ1=1)=

C

1 4

(

1

4

)(

3

4

)3=

108

256

，
P(ξ1=2)=

C

2 4

(

1

4

)2(

3

4

)2=

54

256

，
P(ξ1=3)=

C

3 4

(

1

4

)3(

3

4

)=

12

256

，
P(ξ1=4)=(

1

4

)4=

1

256

，
∴ξ₁的概率分布列是：

ξ1	0	1	2	3	4
P	81 256	108 256	54 256	12 256	1 256

∴E(ξ1)=0×

81

256

+1×

108

256

+2×

54

256

+3×

12

256

+4×

1

256

=1
投資乙項目，則P（ξ=0）=（1-p）²，此時ξ₂=1.4，
P(ξ=1)=

C

1 2

p(1-p)=2p(1-p)，此時ξ₂=1.1，
P（ξ=2）=p²，此時ξ₂=0.4
∴ξ₂的概率分布列為：

ξ2	1.4	1.1	0.4
P	（1-p）2	2p（1-p）	p2

∴E(ξ2)=1.4(1-p)2+1.1×2p(1-p)+0.4p2=-0.4p2-0.6p+1.4．
（2）由E（ξ₁）＜E（ξ₂），
得1＜-0.4p²-0.6p+1.4，
整理，得2p²+3p-2＜0，解得-2＜p＜

1

2

，
∵0＜p＜1，∴0＜p＜

1

2

，
∴p的取值范圍是(0，

1

2

)．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．