Question

8個(gè)球隊(duì)中有甲、乙、丙3個(gè)強(qiáng)隊(duì)．任意將這8個(gè)隊(duì)分成A、B兩組（每組4個(gè)隊(duì)）進(jìn)行比賽．
（1）共有多少種分法？
（2）求至少有兩個(gè)強(qiáng)隊(duì)分在A組中的概率；
（3）求甲、乙兩隊(duì)不分在同一組的概率；
（4）設(shè)強(qiáng)隊(duì)分在同一組的隊(duì)數(shù)為ξ，求ξ的期望值．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）這8個(gè)隊(duì)分成A、B兩組（每組4個(gè)隊(duì)），直接利用組合數(shù)公式能求出共有多少種分法．
（2）利用古典概率計(jì)算公式結(jié)合排列組合知識(shí)能求出至少有兩個(gè)強(qiáng)隊(duì)分在A組中的概率．
（3）利用對(duì)立事件的概率計(jì)算公式給求出甲、乙兩隊(duì)不分在同一組的概率．
（4）由題設(shè)知ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的期望值．

解答： 解：（1）這8個(gè)隊(duì)分成A、B兩組（每組4個(gè)隊(duì)），共有

C

4 8

=70種分法．
（2）至少有兩個(gè)強(qiáng)隊(duì)分在A組中的概率：
p₁=

C 2 3 C 2 5 +C 3 3 C 3 5

C 4 8

=

30+10

70

=

4

7

．
（3）甲、乙兩隊(duì)不分在同一組的概率：
p₂=1-

C 2 2 C 2 6

C 4 8

=

11

14

．
（4）由題設(shè)知ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=

C 0 3 C 4 5

C 4 8

=

1

14

，
P（ξ=1）=

C 1 3 C 3 5

C 4 8

=

3

7

，
P（ξ=2）=

C 2 3 C 2 5

C 4 8

=

3

7

，
P（ξ=3）=

C 3 3 C 1 5

C 4 8

=

1

14

，
∴Eξ=0×

1

14

+1×

3

7

+2×

3

7

+3×

1

14

=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．