已知拋物線方程x2＝4y，過點P(t，－4)作拋物線的兩條切線PA、PB，切點分別為A、B.

(1)求證：直線AB過定點(0,4)；

(2)求△OAB(O為坐標原點)面積的最小值．


解：(1)證明：設切點為A(x1，y1)、B(x2，y2)．

又y′＝x，

則切線PA的方程為y－y1＝x1(x－x1)，即y＝x1x－y1，

切線PB的方程為y－y2＝x2(x－x2)，即y＝x2x－y2，

由點P(t，－4)是切線PA，PB的交點可知：

－4＝x1t－y1，－4＝x2t－y2，

∴過A、B兩點的直線方程為－4＝tx－y，即tx－y＋4＝0.

∴直線AB：tx－y＋4＝0過定點(0,4)．

(2)由得x2－2tx－16＝0.

則x1＋x2＝2t，x1x2＝－16.

S△OAB＝×4×|x1－x2|

當且僅當t＝0時，△OAB的面積取得最小值16.


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


點P到點A(1,0)和直線x＝－1的距離相等，且點P到直線y＝x的距離為，這樣的點P的個數(shù)是(　　)

A．1                                    B．2 

C．3                                    D．4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


如圖，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，上頂點為A，在x軸負半軸上有一點B，滿足，AB⊥AF2.

(1)求橢圓C的離心率；

(2)D是過A，B，F2三點的圓上的點，D到直線l：x－y－3＝0的最大距離等于橢圓長軸的長，求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


F1，F2分別是雙曲線＝1的左、右焦點，過F1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于A、B兩點．若△ABF2是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為(　　)

A．2  B.  C.  D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


拋物線頂點在原點，焦點在x軸正半軸，有且只有一條直線l過焦點與拋物線相交于A，B兩點，且|AB|＝1，則拋物線方程為________．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


已知圓M過定點(2,0)且圓心M在拋物線y2＝4x上運動，若y軸截圓M所得弦為AB，則弦長|AB|等于(　　)

A．4                                    B．3

C．2                                    D．與點M位置有關的值

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


過動點M(x，y)引直線l：y＝－1的垂線，垂足為A，O是原點，直線MO與l交于點B，以AB為直徑的圓恒過點F(0,1)．

(1)求動點M的軌跡C的方程．

(2)一個具有標準方程的橢圓E與(1)中的曲線C在第一象限的交點為Q，橢圓E與曲線C在點Q處的切線互相垂直且橢圓E在Q處的切線被曲線C所截得的弦的中點橫坐標為－，求橢圓E的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


若等比數(shù)列{an}滿足anan+1=16n,則公比為(　　)

(A)2    (B)4    (C)8    (D)16

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


已知數(shù)列{an}中,a1=1,前n項和Sn=an.

(1)求a2,a3;

(2)求{an}的通項公式.

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