Question

4．定義在（0，+∞）上的函數f（x），對于任意的m，n∈（0，+∞），都有f（mn）=f（m）+f（n）成立，當x＞1時，f（x）＜0．
（1）求證：1是函數f（x）的零點；
（2）求證：f（x）是（0，+∞）上的減函數；
（3）當$f（2）=\frac{1}{2}$時，解不等式f（ax+4）＞1．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法，推出f（1）=0，即可證明結果．
（2）利用已知條件結合函數的單調性的定義，證明結果即可．
（3）利用已知條件，通過函數的單調性，利用分類討論求解即可．

解答 解：（1）證明：對于任意的正實數m，n都有f（mn）=f（m）+f（n）成立，
所以令m=n=1，則f（1）=2f（1）．
∴f（1）=0，即1是函數f（x）的零點．
（2）證明：設0＜x₁＜x₂，∵f（mn）=f（m）+f（n），∴f（mn）-f（m）=f（n）．
∴f（x₂）-f（x₁）=f（$\frac{x2}{x1}$）．
因0＜x₁＜x₂，則$\frac{x2}{x1}$＞1．而當x＞1時，f（x）＜0，從而f（x₂）＜f（x₁）．
所以f（x）在（0，+∞）上是減函數．
（3）因為f（4）=f（2）+f（2）=1，
所以不等式f（ax+4）＞1可以轉化為f（ax+4）＞f（4）．
因為f（x）在（0，+∞）上是減函數，所以0＜ax+4＜4．
當a=0時，解集為ϕ；
當a＞0時，-4＜ax＜0，即-$\frac{4}{a}$＜x＜0，解集為{x|-$\frac{4}{a}$＜x＜0}；
當a＜0時，-4＜ax＜0，即0＜x＜-$\frac{4}{a}$，解集為{x|0＜x＜-$\frac{4}{a}$}．

點評 本題考查抽象函數的應用，函數的單調性的證明，分類討論以及轉化思想的應用，考查計算能力．