Question

4．定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x），對(duì)于任意的m，n∈（0，+∞），都有f（mn）=f（m）+f（n）成立，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0．
（1）求證：1是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（2）求證：f（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)；
（3）當(dāng)$f（2）=\frac{1}{2}$時(shí)，解不等式f（ax+4）＞1．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法，推出f（1）=0，即可證明結(jié)果．
（2）利用已知條件結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性的定義，證明結(jié)果即可．
（3）利用已知條件，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性，利用分類討論求解即可．

解答 解：（1）證明：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)m，n都有f（mn）=f（m）+f（n）成立，
所以令m=n=1，則f（1）=2f（1）．
∴f（1）=0，即1是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)．
（2）證明：設(shè)0＜x₁＜x₂，∵f（mn）=f（m）+f（n），∴f（mn）-f（m）=f（n）．
∴f（x₂）-f（x₁）=f（$\frac{x2}{x1}$）．
因0＜x₁＜x₂，則$\frac{x2}{x1}$＞1．而當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0，從而f（x₂）＜f（x₁）．
所以f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．
（3）因?yàn)閒（4）=f（2）+f（2）=1，
所以不等式f（ax+4）＞1可以轉(zhuǎn)化為f（ax+4）＞f（4）．
因?yàn)閒（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，所以0＜ax+4＜4．
當(dāng)a=0時(shí)，解集為ϕ；
當(dāng)a＞0時(shí)，-4＜ax＜0，即-$\frac{4}{a}$＜x＜0，解集為{x|-$\frac{4}{a}$＜x＜0}；
當(dāng)a＜0時(shí)，-4＜ax＜0，即0＜x＜-$\frac{4}{a}$，解集為{x|0＜x＜-$\frac{4}{a}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的證明，分類討論以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．