【題目】已知數(shù)列的前項和為,且滿足,,設(shè),.

(Ⅰ)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;

(Ⅱ)若,,求實數(shù)的最小值;

(Ⅲ)當(dāng)時,給出一個新數(shù)列,其中,設(shè)這個新數(shù)列的前項和為,若可以寫成,,)的形式,則稱為“指數(shù)型和”.問中的項是否存在“指數(shù)型和”,若存在,求出所有“指數(shù)型和”;若不存在,請說明理由.

【答案】I)詳見解析;(II;(III為指數(shù)型和.

【解析】

I)通過計算證明證得,來證得數(shù)列是等比數(shù)列.

II)利用求得數(shù)列的通項公式,由,,求得的最小值.

III)先求得的通項公式,對分成偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況進行分類討論,根據(jù)“指數(shù)型和”的定義,求出符合題意的“指數(shù)型和”.

I,.由于,當(dāng)時,,所以數(shù)列是等比數(shù)列.,.

II)由(I)得,,所以.因為,.當(dāng)時,

,,而,所以,即,化簡得,由于當(dāng)時,單調(diào)遞減,最大值為,所以

,又,所以的最小值為.

III)由(I)當(dāng)時,,當(dāng)時,.也符合上式,所以對正整數(shù)都有.,(),只能是不小于的奇數(shù).

①當(dāng)為偶數(shù)時,,由于都是大于的正整數(shù),所以存在正整數(shù),使得,,所以,且,相應(yīng)的,即有,為“指數(shù)型和”;

當(dāng)為奇數(shù)時,,由于個奇數(shù)之和,仍為奇數(shù),又為正偶數(shù),所以不成立,此時沒“指數(shù)型和”.

綜上所述,中的項存在“指數(shù)型和”,為.

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1)當(dāng)游戲開始時,若拋擲均勻硬幣次后,求棋手所走步數(shù)之和的分布列與數(shù)學(xué)期望;

2)證明:

3)求、的值.

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【題目】2019年高考剛過,為了解考生對全國2卷數(shù)學(xué)試卷難度的評價,隨機抽取了某學(xué)校50名男考生與50名女考生,得到下面的列聯(lián)表:

非常困難

一般

男考生

20

30

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10

(1)分別估計該學(xué)校男考生、女考生覺得全國2卷數(shù)學(xué)試卷非常困難的概率;

(2)從該學(xué)校隨機抽取3名男考生,2名女考生,求恰有4名考生覺得全國2卷數(shù)學(xué)試卷非常困難的概率.

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