Question

如圖，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點(diǎn)E在底面的圓周上，AF⊥DE，F(xiàn)是垂足．

（1）求證：AF⊥DB；

（2）如果圓柱與三棱錐D﹣ABE的體積的比等于3π，求直線DE與平面ABCD所成的角．

Answer 1

（1）見解析；（2）arcctg（/5）

【解析】

試題分析：（1）欲證AF⊥DB，先證AF⊥平面DEB，根據(jù)線面垂直的判定定理可知只需證EB⊥AF，AF⊥DE，且EB∩DE=E，即可證得線面垂直；

（2）點(diǎn)E作EH⊥AB，H是垂足，連接DH，易證∠EDH是DE與平面ABCD所成的角，在三角形EDH中求出此角即可．

（1）證明：根據(jù)圓柱性質(zhì)，DA⊥平面ABE．

∵EB?平面ABE，

∴DA⊥EB．

∵AB是圓柱底面的直徑，點(diǎn)E在圓周上，

∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，

故得EB⊥平面DAE．

∵AF?平面DAE，

∴EB⊥AF．

又AF⊥DE，且EB∩DE=E，

故得AF⊥平面DEB．

∵DB?平面DEB，

∴AF⊥DB．

（2）【解析】
過點(diǎn)E作EH⊥AB，H是垂足，連接DH．

根據(jù)圓柱性質(zhì)，平面ABCD⊥平面ABE，AB是交線．且EH?平面ABE，所以EH⊥平面ABCD．

又DH?平面ABCD，所以DH是ED在平面ABCD上的射影，從而∠EDH是DE與平面ABCD所成的角．

設(shè)圓柱的底面半徑為R，則DA=AB=2R，于是

V圓柱=2πR3，．

由V圓柱：VD﹣ABE=3π，得EH=R，可知H是圓柱底面的圓心，

AH=R，

DH=

∴∠EDH=arcctg=arcctg（/5），