Question

已知：函數(shù)f（x）=

3

sin(ωx)-2sin2

ωx

2

+m的最小正周期為3π（ω＞0），且當(dāng)x∈[0，π]時，函數(shù)f（x）的最小值為0，
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin²B=cosB+cos（A-C），求sinA的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的對稱性,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡，利用最小周期和最小值即可求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）根據(jù)條件f（C）=1，建立方程關(guān)系，求出C的值，然后根據(jù)三角公式即可求出sinA的值．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sin(ωx)-2sin2

ωx

2

+m=

3

sin?ωx+cos?ωx-1+m=2sin?(ωx+

π

6

)-1+m，
∵函數(shù)f（x）的周期為3π，即

2π

ω

=3π，
∴ω=

2

3

，
因此，函數(shù)f（x）的解析式是f(x)=2sin?(

2

3

x+

π

6

)-1+m，
∵x∈[0，π]，
∴

π

6

≤

2

3

x+

π

6

≤

5π

6

，

1

2

≤sin?(

2

3

x+

π

6

)≤1，
∴1≤2sin?(

2

3

x+

π

6

)≤2，
即f（x）的最小值為m，即m=0，
∴f(x)=2sin(

2

3

x+

π

6

)-1．
（2）∵f(C)=2sin(

2C

3

+

π

6

)-1=1，
∴sin?(

2C

3

+

π

6

)=1，
∵C∈（0，π），
∴

π

6

≤

2C

3

+

π

6

≤

5π

6

，
即

2C

3

+

π

6

=

π

2

，
解得C=

π

2

．
∵在Rt△ABC中，A+B=

π

2

，有2sin²B=cosB+cos（A-C）
∴2cos²A-sinA-sinA=0，
即sin²A+sinA-1=0，
解得sinA=

-1± 5

2

，
∵0＜sinA＜1，
∴sinA=

5 -1

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等知識點(diǎn)，要求熟練掌握三角函數(shù)的公式，屬于中檔題．