Question

設(shè){a_n}是公比大于1的等比數(shù)列，S_n為數(shù)列{a_n}的前{a_n}項和．已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）令b_n=lna_3n+1，n=1，2，…，求數(shù)列{b_n}的前n項和T．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出

a1+a2+a3=7 (a1+3)+(a3+4) 2 =3a2

，從而得到a₂=2，設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，解得a1=

2

q

，a₃=2q，由S₃=7，得2q²-5q+2=0，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）b_n=lna_3n+1=3nln2，b_n+1-b_n=3ln2n，由此能求出{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）∵{a_n}是公比大于1的等比數(shù)列，
S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列，
∴

a1+a2+a3=7 (a1+3)+(a3+4) 2 =3a2

，解得a₂=2，
設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，
由a₂=2，得a1=

2

q

，a₃=2q．
又S₃=7，知

2

q

+2+2q=7，
即2q²-5q+2=0，解得q₁=2，q2=

1

2

，
由題意得q＞1，
∴q=2，∴a₁=1．
故數(shù)列{a_n}的通項為a_n=2^n-1．
（2）由于b_n=lna_3n+1，n=1，2，…，
由（1）得a_3n+1=2³ⁿ
∴b_n=ln2³ⁿ=3nln2
又b_n+1-b_n=3ln2n
∴{b_n}是等差數(shù)列．
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

n(b1+bn)

2

=

n(3ln2+3ln2)

2

=

3n(n+1)

2

ln2．
故Tn=

3n(n+1)

2

ln2．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列性質(zhì)的合理運用．