Question

設(shè)f（x）=x³-3x（x∈R）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的極值并作出函數(shù)的圖象（要求標(biāo)明極值點(diǎn)以及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)）；
（2）若方程f（x）-a=0有2個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)極值和函數(shù)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可求函數(shù)y=f（x）的極值；
（2）利用數(shù)形結(jié)合即可求出a的取值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-3x，
∴f′（x）=3x²-3，
由f′（x）=3x²-3＞0，解得x＞1或x＜-1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0，即-1＜x＜1時(shí)．
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	_	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	2	單調(diào)遞減	-2	單調(diào)遞增

因此，當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）有極大值，且極大值為f（-1）=2；
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有極小值，且極小值為f（1）=-2，
由f（x）=x³-3x=0，解得x=0，x=±

3

，即交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），（

3

，0），（-

3

，0）．
則函數(shù)的圖象如圖：
（2）若方程f（x）-a=0有2個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，
即等價(jià)為a=f（x）有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，
則a=2或a=-2．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)極值的求解，利用函數(shù)極值和函數(shù)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．