Question

已知橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），該橢圓經(jīng)過點(diǎn)P（1，

3

2

），且離心率為

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過橢圓：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）長(zhǎng)軸上任意一點(diǎn)S（s，0），（-a＜s＜a）作兩條互相垂直的弦AB、CD．若弦AB、CD的中點(diǎn)分別為M、N，證明：直線MN恒過定點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出

1

a2

+

9

4b2

=1，e=

c

a

=

1

2

，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為x=my+s，m≠0，則直線CD的方程為x=-

1

m

y+s，聯(lián)立

x2 4 + y2 3 =1 x=my+s

，得M（

4s

3m2+4

，-

3sm

3m2+4

），將M的坐標(biāo)中的m用-

1

m

代換，得CD的中點(diǎn)N（

4sm2

4m2+3

，

3sm

4m2+3

），從而得到直線MN的方程為x-

4(m2-1)

7m

y=

4s

7

，由此能證明直線MN經(jīng)過定點(diǎn)（

4

7

s，0）．

解答： （Ⅰ）解：∵點(diǎn)P（1，

3

2

）在橢圓上，∴

1

a2

+

9

4b2

=1，
又∵離心率為

1

2

，∴e=

c

a

=

1

2

，∴a=2c，
∴4a²-4b²=a²，解得a²=4，b²=3，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）證明：設(shè)直線AB的方程為x=my+s，m≠0，
則直線CD的方程為x=-

1

m

y+s，
聯(lián)立

x2 4 + y2 3 =1 x=my+s

，得（3m²+4）y²+6smy+3s²-12=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y1+y2=-

6sm

3m2+4

，y1y2=

3s2-12

3m2+4

，
∴x₁+x₂=（my₁+s）（my₂+s）
=m²y₁y₂+ms（y₁+y₂）+s²
=

4s2-12m2

3m2+4

，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得M（

2s2-6m2

3m2+4

，-

3sm

3m2+4

），
將M的坐標(biāo)中的m用-

1

m

代換，得CD的中點(diǎn)N（

2s2m2-6

3+4m2

，

3sm

3+4m2

），…（9分）
∴直線MN的方程為x-

4(m2-1)

7m

y=

4s

7

，m≠±1，
令y=0得：x=

4

7

s，
∴直線MN經(jīng)過定點(diǎn)（

4

7

s，0），
當(dāng)m=0，±1時(shí)，直線MN也經(jīng)過定點(diǎn)（

4

7

s，0），
綜上所述，直線MN經(jīng)過定點(diǎn)（

4

7

s，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線過定點(diǎn)的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線方程、韋達(dá)定理等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．