Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx+2sin²x+3．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若f（

α

2

）=

26

5

，求sin（2α+

π

6

）的值；
（Ⅲ）當(dāng)x∈[-

π

2

，0]時，若f（x）≥log₂t恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的單調(diào)性,兩角和與差的正弦函數(shù),二倍角的余弦,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）將函數(shù)f（x）進行化簡，即可求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若f（

α

2

）=

26

5

，求出sin（α-

π

6

）=

3

5

；然后利用三角函數(shù)的關(guān)系式即可求sin（2α+

π

6

）的值；
（Ⅲ）求出函數(shù)f（x）的最值，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2

3

sinxcosx+2sin²x+3=2sin（2x-

π

6

）+4，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=π，
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，即kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]；
（Ⅱ）若f（

α

2

）=

26

5

，得sin（α-

π

6

）=

3

5

；
sin（2α+

π

6

）=cos[（2α+

π

6

）-

π

2

]=cos（2α-

π

3

）=1-2sin²（α-

π

6

）=1-2（

3

5

） 2=

7

25

．
（Ⅲ）當(dāng)x∈[-

π

2

，0]時，-

7π

6

≤2x-

π

6

≤-

π

6

，
則f（x）=2sin（2x-

π

6

）+4的最小值為2，
若f（x）≥log₂t恒成立，
log₂t≤2，即0＜t≤4，
則t的取值范圍是（0，4]．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查學(xué)生的運算能力．