Question

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）-b（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象兩相鄰對稱軸之間的距離是

π

2

，若將f（x）的圖象先向右平移

π

6

個單位，再向上平移2個單位，所得函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對任意x∈[0，

π

3

]，不等式f²（x）-（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數(shù)的單調(diào)性,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由函數(shù)的周期為

2π

ω

=2×

π

2

，求得ω的值．再根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得φ的值，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得b=2，從而求得函數(shù)的解析式．
（2）令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈z．
（3）若對任意x∈[0，

π

3

]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（x）∈[-2，-1]．令f（x）=t，則t∈[-2，-1]，不等式即 t²-（2+m）t+2+m≤0．令g（t）=t²-（2+m）t+2+m，由

g(-2)=10+3m≤0 g(-1)=5+2m≤0

，求得m的范圍．

解答： 解：（1）由題意可得，函數(shù)的周期為

2π

ω

=2×

π

2

，求得ω=2．
將f（x）的圖象先向右平移

π

6

個單位，再向上平移2個單位，所得函數(shù)g（x）=sin[2（x-

π

6

）+φ]+2-b=sin（2x+φ-

π

3

）+2-b 為奇函數(shù)，
∴φ-

π

3

=kπ，k∈z，且2-b=0，結(jié)合0＜φ＜π解得 φ=

π

3

，b=2，
故函數(shù)的解析式為 f（x）=sin（2x+

π

3

）-2．
（2）令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，
故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈z．
（3）若對任意x∈[0，

π

3

]，2x+

π

3

∈[

π

3

，π]，sin（2x+

π

3

）∈[0，1]，f（x）∈[-2，-1]．
令sin（2x+

π

3

）-2=t，則t∈[-2，-1]，不等式f²（x）-（2+m）f（x）+2+m≤0 即 t²-（2+m）t+2+m≤0，
令g（t）=t²-（2+m）t+2+m，∴

g(-2)=10+3m≤0 g(-1)=5+2m≤0

，解得m≤-

10

3

，故m的范圍是（-∞，-

10

3

]．

點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．